Konsep Perkalian Titik (Dot Product) Dari Dua Vektor Beserta Contoh Soal Serta Pembahasan

Gemboxin – Pada kesempatan kali ini kita bakal belajar mengenai perkalian dua buah vektor secara Dot Product. Pada dasarnya perkalian vektor dapat dibedakan menjadi dua, yaitu perkalian antara vektor dengan skalar serta perkalian antara dua buah vektor (Vektor dengan Vektor). Pada perkalian antara vektor dengan skalar tentu sangat mudah. Karena sifat perkaliannya seperti perkalian biasa menggunakan sifat Distributif. Yang mana nilai skalar bakal dikalikan pada setiap komponen vektor.

Namun, beda halnya jika Ente melakukan operasi perkalian antara dua buah vektor. Perkalian dua buah vektor dapat di bedakan menjadi dua, yaitu perkalian Dot Product (Perkalian Titik) Dan Cross Product (Perkalian Silang). Kedua perkalian ini mempunyai sifat serta cara pengoperasiannya masing-masing. Baik buat lebih jelasnya perhatikan penjelasan berikut ini.



Baca Juga : Rangkuman Besaran, Satuan, Dimensi, Vektor serta Skalar Materi Kelas 10 SMA

Perkalian Dot (atau Perkalian Titik) Dua Vektor : (A.B)

kalau dua buah vektor di kalian secara Dot Product (Perkalian Titik) maka hasil operasi dua buah vektor tersebut ialah sebuah nilai Skalar. Misalkan vektor A serta B di kalikan secara Dot, maka artinya kita memproyeksikan vektor A ke Vektor B. Memproyeksikan maksudnya menggambarkan panjang bayangan vektor A pada vektor B. Untuk memperoleh panjang proyeksi vektor ini maka kita menggunakan hubungan trigonometri pada segitiga. Perhatikan Gambar Di bawah ini.

Keterangan

α  ialah besar sudut yang di apit antara vektor A serta B ( 0 ≤ α ≤ 180)

|A| ialah Panjang Vektor (atau Besar Vektor) A

|B| ialah Panjang Vektor (atau Besar Vektor) B

Dari gambar di atas kita melakukan proyeksi vektor A ke Vektor B dengan panjang proyeksi vektor A pada B diperoleh dengan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku, sehingga diperoleh hasil proyeksi ialah |A| Cos α. Ketika kita memproyeksikan vektor A ke Vektor B, artinya kita mengalikan panjang vektor A pada B dengan Panjang vektor B. Sehingga hasil yang kita diperoleh hanyalah nilai skalar. Maka dari itu perkalian Dot Product atau Perkalian Titik sering kali di sebut sebagai perkalian Skalar (karena hasilnya ialah nilai Skalar).

Dari persamaan di atas, pada perkalian dua buah vektor secara Dot Product dapat di lihat kalau terdapat nilai Cos α. Maka dari itu penting buat memperhatikan tiga hal penting berikut ini.

Kedua Vektor Searah

kalau kedua vektor A serta B Searah, Artinya Sudut yang dibentuk Oleh kedua Vektor ialah 0. Sehingga nilai dari Cos 0 = 1. Maka

A.B = |A||B| Cos 0 = |A||B|

Kedua Vektor Tegak Lurus

kalau kedua vektor A serta B Tegak Lurus, Artinya Sudut yang dibentuk Oleh kedua Vektor ialah 90. Sehingga nilai dari Cos 90 = 0. Maka

A.B = |A||B| Cos 90 = 0

Kedua Vektor Berlawanan

kalau kedua vektor A serta B Berlawanan, Artinya Sudut yang dibentuk Oleh kedua Vektor ialah 180. Sehingga nilai dari Cos 180 = -1. Maka

A.B = |A||B| Cos 180 = -|A||B|

Panjang atau Besar Vektor

Untuk mencari besar atau panjang vektor maka bisa di dapat dengan cara menjumlahkan kuadrat dari tiap komponen vektor kemudian di akarkan. Atau bisa di sebut sebagai nilai mutlak dari vektor tersebut. Misalnya kita mempunyai vektor A dengan komponen vektor pada setiap sumbu koordinat Kartesian 3D (x, y, z).

Perkalian Dot Product Dari Vektor Satuan.

Vektor satuan ialah vektor yang besarnya 1 satuan. Vektor ini mengungkapkan arah dari sebuah vektor. Ketika dua buah vektor di kalikan secara dot. Maka perkalian dot dari vektor satuan adalah

Ingat Vektor Satuan Panjangnya ialah 1 Satuan. Jadi Ketika kedua vektor tegak lurus maka sudut yang dibentuk oleh kedua vektor ialah 90 drajat. Karena nilai Cos 90 = 0, maka hasil perkalian vektor satuan yang tegak lurus ialah nol. Sedangkan saat kedua vektor satuan berimpit atau searah maka nilai sudut yang dibentuk ialah 0 serta Cos 0 = 1. Maka hasil kali vektor satuan yang searah atau berimpit ialah 1. (Perhatikan Tabel serta Gambar Di atas)

Dengan menggunakan sifat perkalian vektor satuan di atas maka kita bisa mencari hasil perkalian dua buah vektor. Misalnya dua buah vektor A serta B sebagai berikut

Maka Nilai dari A.B adalah

Kalikan semuanya satu persatu, maka diperoleh

Jadi dapat disimpulkan kalau dua buah vektor yang di kalikan secara dot sama dengan jumlah dari perkalian komponen yang searah.

Baca Juga : Fluida Statis, Tekanan Hidrostatis, Hukum Pascal, Archimedes, Rumus serta Contoh Soal

Sifat-Sifat Perkalian Titik (Dot Product)

kalau terdapat 3 buah vektor A, B serta C serta k ialah sebuah nilai Real. Maka sifat perkalian Titik (Dot Product) Memenuhi sifat aljabar yaitu Komutatif, Asosiatif, Dan Distributif

Contoh Soal serta Pembahasan Perkalian Titik (Dot Product) Dari Dua Vektor

Contoh soal 1

Hitunglah usaha yang diberikan Oleh sebuah gaya F sebesar 500 N pada sebuah benda sehingga membuat benda tersebut berpindah sejauh 2 m. Diketahui Bahwa gaya tersebut membentuk sudut sebesar 60° terhadap arah horizontal.

Solusi :

Diketahui:

F = 200 N

r = 2 m

Ditanya : Usaha ?

Usaha sebanding besarnya gaya F yang diberikan kepada benda tersebut sehingga mengakibatkan benda tersebut berpindah sejauh r.

Contoh Soal 2 :

Tentukan Hasil perkalian Titik (Dot Product) dari dua Vektor Berikut Ini

Solusi :

Jadi perkalian dari dua vektor tersebut ialah -56 Satuan. Yang mana satuannya tergantung dari besaran vektor yang dikalikan. Misalnya kita mengalikan vektor gaya serta perpindahan, maka satuannya ialah Nm.

Contoh Soal 3.

Tentukan Kedua Vektor di bawah ini.

Tentukanlah besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Solusi :

A.B = |A||B| cos ⁡  α

Sebelum kita mencari besar sudut yang dibentuk maka terlebih dahulu kita mencari besar atau panjang dari kedua vektor serta Perkalian Dot dari Kedua Vektor tersebut

*Panjang Vektor

*Perkalian Dot

Setelah kita mendapatkan Panjang Vektor serta Hasil Perkalian Dot kedua vektor maka dengan gampang kita mengetahui sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Jadi, besar sudut yang terbentuk oleh dua vektor tersebut ialah 4,88 drajat.

Baca Juga : Bunyi Hukum Charles, Rumus, Contoh Soal serta Penjelasan Lengkap

Itulah artikel tentang Konsep Perkalian Titik (Dot Product) Dari Dua Vektor Beserta Contoh Soal serta Pembahasan. Semoga artikel ini bermanfaat buat Anda. Artikel ini saya buat agar mempermudah Ente dalam mempelajari konsep vektor serta perkalian titik (Dot Product) dari dua buah vektor. Terima kasih telah berkunjung serta sampai jumpa kembali.

Bagikan Artikel ini