Metode Hukum Ii Newton Serta Lagrange

Sebuah benda berbentuk lingkaran bergerak menurunu sebuah bidang miring seperi pada gambar dibawah ini. kalau benda bergerak melingkar serta terdapat gesekan antara benda serta lantai tentukan persamaan gerak benda ?

Metode Hukum II Newton serta Lagrange

1. Mengunakan Metode Hukum II Newton

Terjadi 2 Gerakan, Yaitu :

Translasi serta Rotasi

Solusi :

a. Tinjau Gerak Translasi Benda

Dari gambar diatas dapat dilihat kalau gaya berat Mg terbagi atas dua komponen x,y.

Tinjau Gerak Arah Sumbu Y

∑F_y=m a_y=0 ;Karena tidaka ada perpindaqhan arah sumbu Y

N-m g Cosθ=0

N=m g Cosθ

Tinjau Gerak Arah Sumbu X

∑F_x=m a_x=m a ;dimana a_x=a

m g Sinθ-f=m a………Pers (1)

b. Tinjau Gerak Rotasi Benda

Analisis gaya penyebab benda berotasi dengan mengunakan konsep torsi, dimana penyebab benda berotasi ialah sebab adanya gaya gesek antara benda dengan bidang sentuh.

Momen Gaya (Torsi)

τ=r F,dimana gaya yang berkerja ialah gaya gesek (f)

Hubungan Momen gaya serta percepatan sudut

τ=I α ;dimana percepatan sudut benda∶ α=a/R

Dengan menyamakan anata kedua ruas dari persamaan di atas, maka kita peroleh kalau :

R f=Iα=I a/R  ;sehingga di dapatkan besarnya gaya gesek adalah∶

f=I a/R^2 ……….Pers(2)

Subtitusikan Persamaan (2) Ke Persamaan (1), maka diperoleh :

m g Sinθ-f=m a

f=I a/R^2

m g Sinθ-I a/R^2 =m a

Kumpulkan Variabel yang percepatan (a), diperoleh :

a (m+I/R^2 )= m g sinθ

a=  (m g sinθ)/((m+I/R^2 ) )

Jadi persamaan gerak benda adalah∶a=  (m g sinθ)/((m+I/R^2 ) )

2. Mengunakan Metode Lagrange

Sebelum kita mengunakan metode lagrange maka terlebih dahulu kita mencari informasi mengenai tiga hal berikut ini :

Tentukan Derajat kebebasan : 1 drajat kebebasan (x)

Tentukan Variabel umum : X

Tuliskan persamaan Lagrang : L (x, a, t)

Persamaan Lagrang :

L = T – V

a. Mencari Nilai Energi Kinetik Benda :

Karena benda melakukan dua gerakan, yaitu translasi serta rotasi maka energi kinetik benda ialah energi translasi ditambah energi rotasi :

T=1/2  m x ̇^2+1/2  I ω^2

Dimana : percepatan sudut benda adalah

x=R θ ,maka∶ θ=x/R

Turunkan persamaan diatas terhadap t maka diperoleh :

dθ/dt= ω=x ̇/R

Subtitusikan nilai percepatan sudut ke persamaan diatas, maka diperoleh :

T=1/2  m x ̇^2+1/2  I (x ̇/R)^2

b. Mencari Energi Potensial Benda :

V= -mgh= -mg  (x sinθ)

Subtitusikan Kedua persamaan kedalam persamaan lagrange

L = T – V

L=1/2  m x ̇^2+1/2  I (x ̇/R)^2-( -mg  (x sinθ))

L=1/2  m x ̇^2+1/2  I (x ̇/R)^2+ mg  (x sinθ)

Persamaan Gerak Lagrange :

∂L/∂x-  d/dt (∂L/(∂x ̇ ))=0

∂L/∂x=  ∂/∂x  (1/2  m x ̇^2+1/2  I (x ̇/R)^2+ mg  (x sinθ))

∂L/∂x=mg sinθ

∂L/(∂x ̇ )=  ∂/(∂x ̇ )  (1/2  m x ̇^2+1/2  I (x ̇/R)^2+ mg  (x sinθ))

∂L/(∂x ̇ )=mx ̇+I/R^2   x ̇=(m+I/R^2 )  x ̇

d/dt (∂L/(∂x ̇ ))=  d/dt [(m+I/R^2 )  x ̇ ]= (m+I/R^2 ) x ̈

Subtitusian ke dalam persamaan gerak, maka diperoleh :

∂L/∂x-  d/dt (∂L/(∂x ̇ ))=0

mg sinθ- (m+I/R^2 ) x ̈=0

(m+I/R^2 ) x ̈=mg sinθ

x ̈=  (mg sinθ)/((m+I/R^2 ) )

(d^2 x)/(dt^2 )= a=  (mg sinθ)/((m+I/R^2 ) )

Jadi persamaan gerak benda adalah∶a=  (m g sinθ)/((m+I/R^2 ) )

Untuk Lebih Jelasnya dapat teman teman download file pdfnya lewat link berikut :

Klik Disini

Jadi dapat dilihat kalau dengan metode yang berbeda diperoleh hasil yang sama, diman hukum Newton mengunakan konsep gaya yang berkerja pada benda sedankan lagrang mengunakan konsep energi.

Bagikan Artikel ini