Konsep Perkalian Silang (Cross Product) Dari Dua Vektor Beserta Contoh Soal Serta Pembahasan

Pada artikel sebelumnya saya telah menjelaskan tentang Konsep Perkalian Titik (Dot Product) Dari Dua Vektor Beserta Contoh Soal serta Pembahasan. Nah, buat kesempatan kali ini saya bakal membahas mengenai Konsep Perkalian Silang Dari Dua Vektor atau yang diketahui juga dengan sebutan Cross Product. Simbol perkalian Cross yaitu sebuah tanda silang “x”. Di sini kita bakal mempelajari tentang bagaimana cara mengalikan 2 Vektor secara Cross serta apa saja sifat yang berlaku pada perkalian ini serta pada bagian akhir kita bakal coba mengerjakan contoh soal terkait perkalian silang.

Yang pertama serta perlu di ingat yaitu perkalian silang antara dua buah vektor bakal menghasilkan sebuah vektor baru. Yang mana besarnya vektor tersebut sama dengan luas daerah yang dilalui oleh kedua vektor. Berbeda dengan Perkalian Titik dari 2 Vektor yang bakal menghasilkan sebuah nilai skalar.

Konsep perkalian Cross sering sekali digunakan buat besaran yang bergerak melingkar, contohnya Medan Magnet (B). Misalkan saat kita mau menghitung besarnya medan magnet yang dihasilkan oleh kawat berarus. Maka berdasarkan Hukum Biot Savart, besarnya elemen medan magnet (dB) sebanding dengan besarnya perkalian Cross antara panjang elemen kawat (dl) serta arah vektor satuan (r^), yaitu dB ∝ (dl x r^). Kita tahu kalau medan magnet selalu bergerak melingkar pada kawan berarus listrik. Contoh besaran lain yang bergerak melingkar yaitu Torsi. Dimana besarnya torsi sebanding dengan perkalian Cross antara lengan gaya serta sebuah gaya (r x F).

Perkalian Cross (atau Perkalian Silang) Dari Dua Vektor : (A x B)

Seperti yang telah saya jelaskan perkalian silang dua buah vektor (vektor-vektor) bakal menghasilkan sebuah vektor baru yang besarnya sama dengan luas daerah yang dilalui oleh vektor tersebut. Misalkan kita mempunyai sebuah vektor A serta Vektor B serta hasil perkalian kedua vektor yaitu vektor C maka besarnya vektor C dapat di hitung menggunakan konsep Trigonometri pada sebuah segitiga

Jadi, besarnya vektor C adalah

C = A x B = |A||B| sin θ

Ingat : Hasil perkalian silang dua buah vektor yaitu sebuah vektor baru. Karena vektor yaitu sebuah besaran yang mempunyai nilai serta arah, lalu ke manakah arah dari vektor tersebut?

Misalnya kita masih menggunakan permisalan yang sama, yaitu dua Buah Vektor A serta B yang menghasilkan Vektor C. Maka arah dari vektor C yaitu selalu tegak lulus dengan arah bidang yang dibentuk oleh vektor A serta B. Kita misalkan vektor A pada sumbu +x serta vektor B pada sumbu +y maka bidang yang dibentuk oleh vektor A serta B yaitu bidang xy. Maka arah yang tegak lurus dengan bidang xy yaitu arah sumbu z. Untuk lebih jelasnya maka perhatikan gambar di bawah ini.

Catatan

Karena hasil perkalian dua buah vektor menghasilkan : sin θ. Maka penting buat mengingat kembali nilai-nilai sin θ pada beberapa sudut. Dan ingat sin θ bakal bernilai nol saat sudut yang dibentuk oleh kedua buah vektor yaitu sudut 0 derajat atau kedua vektor searah serta saat sudut yang dibentuk yaitu 180 derajat atau kedua vektor berlawanan arah. Sedangkan, nilai maksimum terjadi saat kedua vektor tegak lurus atau sudut yang dibentuk 90 derajat.

Searah θ = 0 Maka sin 0 = 0

C = A x B = |A||B| sin 0 = 0

Tegak Lurus θ = 90 Maka sin 90 = 1

C = A x B = |A||B| sin 90 = |A||B|

Berlawanan Arah θ = 180 Maka sin 180 = 0

C = A x B = |A||B| sin 180 = 0

Panjang atau Besar Vektor A yaitu |A|

Untuk mencari besar atau panjang vektor maka bisa di dapat dengan cara menjumlahkan kuadrat dari tiap komponen vektor kemudian di akarkan. Atau bisa di sebut sebagai nilai mutlak dari vektor tersebut. Misalnya kita mempunyai vektor A dengan komponen vektor pada setiap sumbu koordinat Kartesian 3D (x, y, z).

Perkalian Cross Product Dari Vektor Satuan.

Vektor satuan yaitu vektor yang besarnya 1 satuan. Vektor ini menjelaskan arah dari sebuah vektor. Ketika dua buah vektor di kalikan secara Cross. Maka perkalian Cross dari dua vektor satuan adalah

Berdasarkan perkalian vektor satuan di atas, maka dapat di simpulkan kalau jika kita mengalikan vektor A x B = C, maka jika kita mengalikan vektor B x A = -C bakal menghasilkan nilai negatif. Jadi : A x B = -B x A

Baca Juga : Rangkuman Besaran, Satuan, Dimensi, Vektor serta Skalar Materi Kelas 10 SMA

Perkalian Silang Dua Buah Vektor Per Komponen

Misalkan kita mempunyai vektor A serta B Tiga Dimensi (3D) dalam koordinat Kartesian (x, y, z). Dan komponen Vektor A yaitu (Ax, Ay, Az) sedangkan Komponen vektor B yaitu (Bx, By, Bz). Maka ada dua cara dalam menyelesaikan perkalian dua vektor ini secara Cross. Cara yang pertama yaitu dengan mengalikan komponen vektor A serta B satu persatu serta Cara kedua yaitu dengan menggunakan determinan matriks.

Cara 1 : Mengalikan Vektor A serta B per komponen

Maka Nilai dari A x B adalah

Kalikan semuanya satu persatu, maka diperoleh

Dari tabel perkalian vektor satuan di atas meka diperoleh

Kemudian kumpulkan komponen vektor dengan vektor satuan yang sama

Cara 2 : Menggunakan Determinan Matrix

Langkah 1 : Cari komponen i, dengan cara tutup bagian i, maka bakal tersisa Matrix 2 x 2 dari komponen j serta k. Kemudian hitung determinan Matrix 2 x 2 tersebut, caranya adalah 

Perhatikan perbedaan letak elemen matriks jika kita mengalikan j x k serta k x j. kalau kita mengalikan j x k, maka kita juga perlu menyesuaikan elemen dalam matriks 2 x 2 pada baris pertama yaitu semua komponen j yaitu Ay serta By sedangkan pada baris ke-2 yaitu komponen k yaitu Az serta Bz.

Sebaliknya kalau kita mengalikan k x j, maka kita juga perlu menyesuaikan elemen dalam matriks 2 x 2 pada baris pertama yaitu semua komponen k yaitu Az serta Bz sedangkan pada baris ke-2 yaitu komponen j yaitu Ay serta By. Arinya jika kita mengalikan komponen vektor maka kita perlu sesuaikan dengan komponen vektor satuan yang mana di kalikan terlebih dahulu. 

Langkah 2 : dengan cara yang sama, maka kita per oleh komponen j serta k adalah

Langkah 3 : Gabungkan semua hasil perkalian, maka diperoleh hasil perkalian vektor A serta B adalah

Catatan : Kalian enggak perlu membuat perkaliannya satu persatu seperti di atas, di atas hanyalah contoh serta cara saya menjelaskannya kepada Anda. Kalian cuma perlu menutup bagian vektor satuan yang mau kita serta langsung mengalikan determinan matriks.

Contoh Soal serta Pembahasan Perkalian Silang (Cross Product) Dari Dua Vektor

Contoh Soal 1 :

Perhatikan gambar di bawah ini. Sebuah batang besi sepanjang 2 m serta salah satu ujungnya yaitu sebagai sumbu putar (Poros). kalau di ujung lainya di beri gaya sebesar 50 N serta gaya tersebut membentuk sudut 30 drajat terhadap batang besi, Maka tentukanlah besar torsi akibat gaya tersebut.

Solusi :

Langkah 1 : Gambarkan gaya-gaya yang bekerja secara vektor. Karena gaya yang bekerja membentuk sudut sebesar 30 deraja maka bakal ada komponen gaya yang ke arah sumbu x serta ke arah sumbu y.

Arah vektor r (lengan gaya) yaitu dari sumbu putar ke arah kanan. Pada gambar dibawah ini, arah vektor r di gambarkan dengan panah berwarna merah. Sedangkan vektor gaya F di gambarkan dengan anak panah berwarna hitam.

Anak panah berwarna kuning yaitu komponen vektor gaya yang mengarah ke sumbu x. Sedangkan anak panah berwarna hijau yaitu komponen vektor gaya yang mengerah ke sumbu y.

Tinjau Gaya Fx serta Lengan Gaya

Dari gambar di atas terlihat kalau komponen vektor gaya Fx berlawanan arah dengan vektor lengan gaya r. Maka nilai torsinya adalah

Tinjanu Gaya Fy serta Lengan Gaya

Sedangkan komponen vektor gaya Fy tegak lurus dengan vektor lengan gaya r.

Tanda minus karna arah dari vektor r yaitu kearah negatif sumbu x. Dengan acuan koordinat kartesian yang telah kita buat di atas.

Ingat : saat kita telah menggambar sistem koordinat kartesian maka kita perlu konsisten terhadap arah koordinat tersebut.

Dengan demikian, maka diperoleh torsi akibat gaya Fy adalah

Jadi, besarnya torsi akibat gaya tersebut yaitu 50 Nm. Tanda negatif k (-k) yaitu arah dari torsi tersebut.

Contoh Soal 2

Sebuah gaya yang bekerja pada gagang pintu yaitu sama dengan persamaan F = (3 i + j - 2k) N. kalau gaya tersebut bekerja pada gagang pintu yang berjarak r = 2i – j dari poros (sumbu putar). Maka tentukanlah besar dari momen gaya tersebut.

Solusi :

Baca Juga : Bunyi Hukum Charles, Rumus, Contoh Soal serta Penjelasan Lengkap

Itulah artikel tentang Konsep Perkalian Silang (Cross Product) Dari Dua Vektor Beserta Contoh Soal serta Pembahasan. Semoga artikel ini besar bermanfaat buat Anda. serta semoga apa yang saya jelaskan bisa dipahami dengan mudah. kalau ada kesalahan dalam penjelasan kami mohon buat di koreksi agar kami lekas memperbaikinya. Terima kasih telah berkunjung serta sampai jumpa kembali.

Bagikan Artikel ini